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数学最常见、最热门的思想方法

数学研究对象一直以来主要集中在数量关系和空间形式两个方面，通俗的说，数学就是“做”关于“数”与“形”两者之间的事情。下文小编给大家整理了一些数常见的思维方式，供参考!

数形结合的数学思想

所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决具体数学问题的思想方法，使复杂的数学问题通过数形结合变得简单，最终得到解决。

我们把数形结合思想进行细致化，可以从这两个方面去理解：

1、数形结合思想中的“数”主要是指数和数量关系;

2、“形”主要是指图形，有点、线、面、体等。

在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.

1) 求实数b的取值范围;

2) 求圆C的方程;

3) 问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论.

解：令x=0，得抛物线与y轴交点是(0，b);

令f(x)=x2+2x+b=0，由题意b=?0 且Δ>0，解得b<1 且b=?0，实数b的取值范围是b∈(-∞，0)∪(0,1).

2) 解：设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0 是同一个方程，

故D=2，F=b.

令x=0得y2+Ey+F=0，

此方程有一个根为b，

代入得出E=―b―1.

所以圆C 的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.

3) 证明：假设圆C过定点(x0，y0)，(x0，y0不依赖于b)，

将该点的坐标代入圆C的方程，

并变形为x02+y02+2x0-y0+b(1-y0)=0 (*)

为使(*)式对所有满足b<1(b=?0)的b都成立，

必须有1-y0=0，

结合(*)式得

x02+y02+2x0-y0=0，

解得x0=0，y0=1;或x0=-2，y0=1

经检验知，点(0,1)，(-2,0)均在圆C上，

因此圆C 过定点。

具体来说，要想在具体问题中抓住数形结合，可以从以下四个方面入手：

1、实数与数轴上点的对应;

2、函数与图象的对应;

3、曲线与方程的对应;

4、以几何元素及几何条件为背景，通过坐标系来实现的对应，有复数、三角、空间点的坐标等。

熟练运用数形结合思想，可以很直观帮助我们去解决具体的数学问题，如在解决数学填空题、选择题这些客观题时候，数形结合思想就有直观、简单、快捷等特点。即使是面对数学解答题，最终的解题过程我们都需要借用具体、严密、推理的数学语言表达出来，而图形只是辅助手段。

已知f(x)是二次函数，不等式f(x)

1) 求f(x)的解析式;

2) 是否存在自然数m使得方程f(x)+37/x=0在区间(m，m+1)内有且只有两个不等的实数根?若存在，求出m值;若不存在，说明理由.

解：(1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，

∴ 可设f(x)=ax(x-5)(a>0).

∴ f(x)在区间[-1,4]上的最大值是f(-1)=6a.

由已知，得6a=12，

∴ a=2，

∴ f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

2) 方程f(x)+37/x=0等价于方程2x3-10x2+37=0.

设h(x)=2x3-10x2+37，

则h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

当x∈(0,10/3)时，

h′(x)<0，h(x)是减函数;

当x∈(10/3，+∞)时，

h′(x)>0，h(x)是增函数.

∵ h(3)=1>0，

h(10/3)=-1/27<0，h(4)=5>0，

∴ 方程h(x)=0在区间(3,10/3),(10/3，4)内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，+∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+37/x=0在区间(m，m+1)内有且只有两个不同的实数根。

数学在教育的不同阶段有怎样的特征

在小学时期，虽然数学教育没有对数形结合思想进行针对性的教学训练，但在很多数学内容里都蕴含数形结合的思想。如小学生最开始通过具体物品的数量变化，来消化和理解加减乘除等基本运算。

进入初中之后，教材才正式给出数形结合这一重要思想方法，也是中考数学重要和热门考点。如要想掌握好函数相关知识内容，就必须把函数的图象和性质进行相结合，才能真正理解函数这一重要知识内容;或是学习几何内容，需要把基本的几何图形关系转化成数量关系，把图形语言转化成具体的数学语言等。

特别是进入高中之后，这些变化对学生的数学学习能力、数学素养等都提出了挑战。很多考生经常会说，为什么我做了那么多题目，还是考不出好成绩?关键就是没有认真去消化和理解数学思想方法，解题没有结合具体思想方法;或解题反思只是反思解题技巧，却对数学思想方法没有进行反思总结等。