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公理思想

公理思想的发展经历了漫长的过程，而它是对现代数学的发展影响最大，为其它科学使用最多的一种思想。所谓公理思想，就是知识系统序化的思想，其首要工作就是将众多的概念、命题进行整理、排队，从中找出一些最基本的概念和命题为立论的起点，并运用公理化方法和演绎法建立公理体系。公理思想是一种序化思想，它是从系统化、严格化与形式化三方面反映知识序化。任何知识的积累，增长到一定程度，在知识内部必然会产生一种序化要求，公理思想作为人脑对这种要求的反映或迟或早必然会产生，发展，并通过随之而来的一整套方法去实现这种要求。

符号思想

符号思想是导致数学脱离其实际内容走向抽象化形式系统的关键思想。当美索不达米亚的牧人第一次使用小石子来表示羊只时，就意味着这种抽象的产生;而当他们第一次试图使用什么记号将羊只的总数记录下来时，就意味着符号思想的出现，无疑这是人类知识史巨大飞跃的开端，是数学得以成为理性科学的开始。符号，无论是采取何种形态(文字的、字母的、图形的还是其他任何约定记号的)，其思想实质是一样的：即通过建立某种对应，实现从感性到理性的认识转换。表达形态的不同，标志着抽象程度的高度差异(应该承认，这种抽象程度差别往往会导致数学发展水平的巨大鸿沟)。中国式的由算筹发展而产生的筹算记号因具有直观性，简便性而促使中国古代数学走在世界前列，可惜也同样是这套符号在14世纪后变成了阻碍中国数学进一步发展的因素之一，它也是造成中国数学同西方数学走完全不同的发展道路的一个主要原因。数学语言是一种抽象的符号语言，符号的发展与进步其直接的结果是抽象程度的提高，从而导致数学日益走向形式化，符号是这种形式化得以实现的基础。可以这样讲，没有符号就没有数学。数学的序化思想正是通过抽象化、形式化与符号思想建立了联系。